宝宝发烧37.7℃，家人可通过密切监测体温、采用物理降温、保证充足水分摄入、营造舒适环境、合理调整饮食、观察伴随症状等方式进行护理。
1. 密切监测体温：宝宝发烧37.7℃属于低热，此时家人要每隔一段时间就给宝宝测量一次体温，了解体温的变化趋势。可以使用电子体温计或水银体温计，测量腋下体温较为方便。一般建议每1 - 2小时测量一次，若体温有上升趋势，测量间隔可适当缩短。
2. 采用物理降温：物理降温是缓解低热的常用方法。可以用湿毛巾给宝宝擦拭额头、颈部、腋窝、腹股沟等大血管丰富的部位，水分蒸发时会带走热量，从而起到降温作用。也可以使用退热贴，贴在宝宝的额头，帮助散热。此外，让宝宝适当减少衣物和覆盖物，利于散热，但要注意避免着凉。
3. 保证充足水分摄入：发烧会使宝宝体内水分散失增多，因此要多给宝宝喝温开水，以补充水分，防止脱水。也可以给宝宝喝一些鲜榨的果汁，但要注意稀释，避免糖分过高。充足的水分还能促进新陈代谢，帮助身体排出毒素。
4. 营造舒适环境：保持室内空气流通，可适当开窗通风，但要避免对流风直接吹到宝宝。室内温度宜保持在22 - 26℃，湿度在50% - 60%，这样的环境有助于宝宝身体的恢复。
5. 合理调整饮食：宝宝发烧时，消化功能可能会受到一定影响，此时饮食要清淡、易消化。可以给宝宝吃一些米粥、面条、蔬菜汤等食物，避免食用油腻、辛辣、刺激性食物。同时，要注意饮食的均衡，保证宝宝摄入足够的营养。
6. 观察伴随症状：除了关注体温，家人还要留意宝宝是否有其他伴随症状，如咳嗽、流涕、呕吐、腹泻、精神萎靡等。如果出现这些症状或体温持续升高超过38.5℃，或发热时间超过3天，应及时带宝宝去正规医院就诊，在医生的指导下进行治疗。常用的退烧药物有对乙酰氨基酚、布洛芬、阿司匹林等，但使用药物需遵医嘱。
宝宝发烧37.7℃时，家人不必过于惊慌，可按照上述方法进行家庭护理。密切关注宝宝的体温和身体状况，若情况没有改善或出现异常，应及时就医，以确保宝宝的健康。